Trigonométrie Exemples

$4 = - 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ .

$- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t) = 4$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)}{- 5} = \frac{4}{- 5}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 \sin (\frac{3 π}{4} t)}{- 5} = \frac{4}{- 5}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ par $1$ .

$\sin (\frac{3 π}{4} t) = \frac{4}{- 5}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (\frac{3 π}{4} t) = - \frac{4}{5}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{3 π}{4} t = \arcsin (- \frac{4}{5})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Associez $\frac{3 π}{4}$ et $t$ .

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (- \frac{4}{5})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{4}{5})$ .

$\frac{3 π t}{4} = - 0.92729521$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Étape 7

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Étape 7.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Étape 7.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3 π$ .

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Étape 7.1.1.2.1

Factorisez $3 π$ à partir de $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Étape 7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Étape 7.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$ .

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $\frac{4}{3 π} \cdot - 0.92729521$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Associez $\frac{4}{3 π}$ et $- 0.92729521$ .

$t = \frac{4 \cdot - 0.92729521}{3 π}$

Étape 7.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $- 0.92729521$ .

$t = \frac{- 3.70918087}{3 π}$

Étape 7.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{3.70918087}{3 π}$

Étape 7.2.1.3

Remplacez $π$ par une approximation.

$t = - \frac{3.70918087}{3 \cdot 3.14159265}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $3$ par $3.14159265$ .

$t = - \frac{3.70918087}{9.42477796}$

Étape 7.2.1.5

Divisez $3.70918087$ par $9.42477796$ .

$t = - 1 \cdot 0.39355631$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0.39355631$ .

$t = - 0.39355631$

Étape 8

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{3 π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{3 π t}{4} = 2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 9.2

L’angle résultant de $4.06888787$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) + 0.92729521 + 3.14159265$ .

$\frac{3 π t}{4} = 4.06888787$

Étape 9.3

Résolvez $t$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Étape 9.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

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Étape 9.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.3.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Étape 9.3.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Étape 9.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3 π$ .

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Étape 9.3.2.1.1.2.1

Factorisez $3 π$ à partir de $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Étape 9.3.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Étape 9.3.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$t = \frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$

Étape 9.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$ .

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Étape 9.3.2.2.1.1

Multipliez $\frac{4}{3 π} \cdot 4.06888787$ .

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Étape 9.3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{4}{3 π}$ et $4.06888787$ .

$t = \frac{4 \cdot 4.06888787}{3 π}$

Étape 9.3.2.2.1.1.2

Multipliez $4$ par $4.06888787$ .

$t = \frac{16.27555148}{3 π}$

Étape 9.3.2.2.1.2

Remplacez $π$ par une approximation.

$t = \frac{16.27555148}{3 \cdot 3.14159265}$

Étape 9.3.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $3.14159265$ .

$t = \frac{16.27555148}{9.42477796}$

Étape 9.3.2.2.1.4

Divisez $16.27555148$ par $9.42477796$ .

$t = 1.72688964$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $\frac{3 π}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{3 π}{4} |}$

Étape 10.3

$\frac{3 π}{4}$ est d’environ $2.35619449$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{3 π}{4}}$

Étape 10.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{3 π}$

Étape 10.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{3 π}$

Étape 10.5.2

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 3}$

Étape 10.5.3

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 3}$

Étape 10.5.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{4}{3})$

Étape 10.6

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Étape 10.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{3}$

Étape 11

Ajoutez $\frac{8}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.1

Ajoutez $\frac{8}{3}$ à $- 0.39355631$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.39355631 + \frac{8}{3}$

Étape 11.2

Pour écrire $- 0.39355631$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 0.39355631 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.3

Associez les fractions.

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Étape 11.3.1

Associez $- 0.39355631$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 0.39355631 \cdot 3}{3}$

Étape 11.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 0.39355631 \cdot 3}{3}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

Multipliez $- 0.39355631$ par $3$ .

$\frac{8 - 1.18066894}{3}$

Étape 11.4.2

Soustrayez $1.18066894$ de $8$ .

$\frac{6.81933105}{3}$

Étape 11.5

Divisez $6.81933105$ par $3$ .

$2.27311035$

Étape 11.6

Indiquez les nouveaux angles.

$t = 2.27311035$

Étape 12

La période de la fonction $\sin (\frac{3 π}{4} t)$ est $\frac{8}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{8}{3}$ radians dans les deux sens.

$t = 1.72688964 + \frac{8 n}{3}, 2.27311035 + \frac{8 n}{3}$ , pour tout entier $n$