Trigonométrie Exemples

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\log_{6} (5 x), 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\log_{6} (5 x)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ par $\log_{6} (5 x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ par $\log_{6} (5 x)$ .

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} \log_{6} (5 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\log_{6} (5 x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} \log_{6} (5 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{6} (15 x) = 2 \log_{6} (5 x)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \log_{6} (5 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} ({(5 x)}^{2})$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} (5^{2} x^{2})$

Étape 2.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\log_{6} (15 x) = \log_{6} (25 x^{2})$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$15 x = 25 x^{2}$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $25 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$15 x - 25 x^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$15 u - 25 u^{2} = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $5 u$ à partir de $15 u - 25 u^{2}$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $5 u$ à partir de $15 u$ .

$5 u (3) - 25 u^{2} = 0$

Étape 3.2.2.2.2

Factorisez $5 u$ à partir de $- 25 u^{2}$ .

$5 u (3) + 5 u (- 5 u) = 0$

Étape 3.2.2.2.3

Factorisez $5 u$ à partir de $5 u (3) + 5 u (- 5 u)$ .

$5 u (3 - 5 u) = 0$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$5 x (3 - 5 x) = 0$

Étape 3.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 - 5 x = 0$

Étape 3.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.5

Définissez $3 - 5 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez $3 - 5 x$ égal à $0$ .

$3 - 5 x = 0$

Étape 3.2.5.2

Résolvez $3 - 5 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 3$

Étape 3.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 3$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 3$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

Étape 3.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 3.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

Étape 3.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 5}$

Étape 3.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{3}{5}$

Étape 3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 x (3 - 5 x) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3}{5}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\log_{6} (15 x)}{\log_{6} (5 x)} = 2$ vrai.

$x = \frac{3}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3}{5}$

Forme décimale :

$x = 0.6$