Trigonométrie Exemples

$\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{2} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (x^{2}) = 15$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x^{2} x^{2}) = 15$

Étape 2.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (x^{2 + 2}) = 15$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\log_{2} (x^{4}) = 15$

Étape 3

Écrivez en forme exponentielle.

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Étape 3.1

Pour les équations logarithmiques, $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ de sorte que $x > 0$ , $b > 0$ et $b \neq 1$ . Dans ce cas, $b = 2$ , $x = x^{4}$ et $y = 15$ .

$b = 2$

$x = x^{4}$

$y = 15$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs de $b$ , $x$ et $y$ dans l’équation $b^{y} = x$ .

$2^{15} = x^{4}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} = 2^{15}$ .

$x^{4} = 2^{15}$

Étape 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{15}}$

Étape 4.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{2^{15}}$ .

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Étape 4.3.1

Élevez $2$ à la puissance $15$ .

$x = \pm \sqrt[4]{32768}$

Étape 4.3.2

Réécrivez $32768$ comme $8^{4} \cdot 8$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $32768$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4096 (8)}$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $4096$ comme $8^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{8^{4} \cdot 8}$

Étape 4.3.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 8 \sqrt[4]{8}$

Étape 4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Étape 4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8 \sqrt[4]{8}$

Étape 4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8 \sqrt[4]{8}, - 8 \sqrt[4]{8}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$ vrai.

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

Forme décimale :

$x = 13.45434264 \dots$