Trigonométrie Exemples

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} = 6$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $10^{x} - 10^{- x}$ .

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $10^{x} - 10^{- x}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $6 (10^{x} - 10^{- x})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} + 6 (- 10^{- x})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $10^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.2

Remplacez $10^{x}$ par $u$ .

$u + u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.4

Réécrivez $10^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.5

Remplacez $10^{x}$ par $u$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot u - 6 \cdot u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u - 6 \cdot \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.6.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6 u + \frac{- 6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u + \frac{1}{u} = 6 u - \frac{6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.7

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.7.1

Soustrayez $6 \cdot 10^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} = - 6 \cdot 10^{- x}$

Étape 3.7.2

Ajoutez $6 \cdot 10^{- x}$ aux deux côtés de l’équation.

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Étape 3.7.3

Soustrayez $6 \cdot 10^{x}$ de $10^{x}$ .

$10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

Étape 3.7.4

Additionnez $10^{- x}$ et $6 \cdot 10^{- x}$ .

$7 \cdot 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Étape 3.8

Réécrivez $10^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$7 \cdot {(10^{x})}^{- 1} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

Étape 3.9

Remplacez $10^{x}$ par $u$ .

$7 \cdot u^{- 1} - 5 \cdot u = 0$

Étape 3.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \cdot \frac{1}{u} - 5 \cdot u = 0$

Étape 3.10.2

Associez $7$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{7}{u} - 5 u = 0$

Étape 3.11

Remettez dans l’ordre $\frac{7}{u}$ et $- 5 u$ .

$- 5 u + \frac{7}{u} = 0$

Étape 3.12

Résolvez $u$ .

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Étape 3.12.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.12.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 3.12.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 3.12.2

Multiplier chaque terme dans $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.12.2.1

Multipliez chaque terme dans $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ par $u$ .

$- 5 u \cdot u + \frac{7}{u} u = 0 u$

Étape 3.12.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.12.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$- 5 (u \cdot u) + \frac{7}{u} u = 0 u$

Étape 3.12.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Étape 3.12.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 3.12.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

Étape 3.12.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 u^{2} + 7 = 0 u$

Étape 3.12.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.12.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$- 5 u^{2} + 7 = 0$

Étape 3.12.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.12.3.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 u^{2} = - 7$

Étape 3.12.3.2

Divisez chaque terme dans $- 5 u^{2} = - 7$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 3.12.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 u^{2} = - 7$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Étape 3.12.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.12.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 3.12.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Étape 3.12.3.2.2.1.2

Divisez $u^{2}$ par $1$ .

$u^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

Étape 3.12.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.12.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$u^{2} = \frac{7}{5}$

Étape 3.12.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

Étape 3.12.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

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Étape 3.12.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{7}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.12.3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.12.3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.12.3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.12.3.4.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 3.12.3.4.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 3.12.3.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.12.3.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.12.3.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.12.3.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.12.3.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.12.3.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.12.3.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.12.3.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.12.3.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 3.12.3.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

Étape 3.12.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.3.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$u = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

Étape 3.12.3.4.4.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

Étape 3.12.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.12.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Étape 3.12.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Étape 3.12.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Étape 3.13

Remplacez $u$ par $\frac{\sqrt{35}}{5}$ dans $u = 10^{x}$ .

$\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Étape 3.14

Résolvez $\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

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Étape 3.14.1

Réécrivez l’équation comme $10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Étape 3.14.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{x}) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Étape 3.14.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.14.3.1

Développez $\log (10^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \log (10) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Étape 3.14.3.2

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Étape 3.14.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Étape 3.15

Remplacez $u$ par $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ dans $u = 10^{x}$ .

$- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

Étape 3.16

Résolvez $- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ .

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Étape 3.16.1

Réécrivez l’équation comme $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Étape 3.16.2

Prenez le logarithme $10$ de base des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\log (10^{x}) = \log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$

Étape 3.16.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.16.4

Il n’y a pas de solution pour $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Aucune solution

Étape 3.17

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

Forme décimale :

$x = 0.07306401 \dots$