Trigonométrie Exemples

${(\sin (2 x) + \cos (2 x))}^{2} = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(\sin (2 x) + \cos (2 x))}^{2} - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

${(2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x))}^{2} - 1 = 0$

Étape 2.1.1.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

${(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez ${(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ comme $(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

$(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.3

Développez $(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $2 \sin (x) \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))$ .

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Étape 2.1.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 2.1.4.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.1.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin^{2} (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.1.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 2.1.4.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.3.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.3.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.4.3.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 2.1.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.5

Multipliez $2 \sin (x) \cos (x)$ par $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.7

Multipliez $- 2 \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.8

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.8.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.8.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.4.8.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 2.1.4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.12

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.12.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.12.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{4} (x)) - 1 = 0$

Étape 2.1.4.13

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 \sin (x) \cos (x)$ et $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.6

Soustrayez $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.7

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.8

Déplacez $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.9

Remettez dans l’ordre $4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ et $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez $- 4 \sin^{2} (x)$ à partir de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) \cdot 1 + 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $- 4 \sin^{2} (x)$ à partir de $4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.12

Factorisez $- 4 \sin^{2} (x)$ à partir de $- 4 \sin^{2} (x) (1) - 4 \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ .

$- 4 \sin^{2} (x) (1 - 1 \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.13

Réécrivez $- 1 \cos^{2} (x)$ comme $- \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) (1 - \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.14

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 4 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.15

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.15.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$- 4 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 {\sin (x)}^{2 + 2} + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.15.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

Étape 2.1.16

Associez les termes opposés dans $- 4 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x)$ .

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Étape 2.1.16.1

Additionnez $- 4 \sin^{4} (x)$ et $4 \sin^{4} (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 0 - 1 = 0$

Étape 2.1.16.2

Additionnez $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1$ et $0$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 1 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 1$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 0 = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ et $0$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $4 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $1 - 2 \sin^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $1 - 2 \sin^{2} (x)$ égal à $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7.2.7.3

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 7.2.7.4

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.2.7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.2.7.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 7.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 7.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 7.2.7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.7.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2.8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 7.2.8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 7.2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.8.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 7.2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 7.2.8.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.8.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.8.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 7.2.8.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.2.8.6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.8.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.2.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 7.2.8.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.8.6.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 7.2.8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 7.2.8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 7.2.8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9.3

Consolidez $π n$ et $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9.4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$