Trigonométrie Exemples

$(\csc (x) + 2) (\csc (x) - \sqrt{2}) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (x) + 2 = 0$

$\csc (x) - \sqrt{2} = 0$

Étape 2

Définissez $\csc (x) + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\csc (x) + 2$ égal à $0$ .

$\csc (x) + 2 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\csc (x) + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = - 2$

Étape 2.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 2)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $arccsc (- 2)$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 2.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 2.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 2.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 2.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 2.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 2.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 2.2.8

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\csc (x) - \sqrt{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\csc (x) - \sqrt{2}$ égal à $0$ .

$\csc (x) - \sqrt{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\csc (x) - \sqrt{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Étape 3.2.2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $arccsc (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 3.2.4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 3.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 3.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\csc (x) + 2) (\csc (x) - \sqrt{2}) = 0$ vraie.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$