Trigonométrie Exemples

$(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Étape 2

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\tan (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 2.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 2.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 2.2.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 2.2.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 2.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 2.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $2 \sin (x) - \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \sin (x) - \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 3.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 3.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 3.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$