Trigonométrie Exemples

${(\frac{1}{5})}^{- 2 x^{2} - 4} = {(\frac{1}{125})}^{- 8 x + 22}$

Étape 1

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

${(\frac{1}{5})}^{- 2 x^{2} - 4} = {(\frac{1}{5})}^{3 (- 8 x + 22)}$

Étape 2

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x + 22)$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $3 (- 8 x + 22)$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$- 2 x^{2} - 4 = 0 + 0 + 3 (- 8 x + 22)$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x + 22)$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} - 4 = 3 (- 8 x) + 3 \cdot 22$

Étape 3.1.4

Multipliez.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- 2 x^{2} - 4 = - 24 x + 3 \cdot 22$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $3$ par $22$ .

$- 2 x^{2} - 4 = - 24 x + 66$

Étape 3.2

Ajoutez $24 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} - 4 + 24 x = 66$

Étape 3.3

Soustrayez $66$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} - 4 + 24 x - 66 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $66$ de $- 4$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 70 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 24 x - 70$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 70 = 0$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $24 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 70 = 0$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 70$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 35 = 0$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 35 = 0$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (35)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 3.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x - 7) (x - 5)) = 0$

Étape 3.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 7) (x - 5) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.8

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 7) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 7, 5$