Trigonométrie Exemples

$(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

Étape 2

Définissez $\cot (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\cot (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\cot (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = 1$

Étape 2.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 2.2.5.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\sqrt{3} \cot (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sqrt{3} \cot (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sqrt{3} \cot (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3} \cot (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \cot (x) = - 1$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \cot (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\cot (x)$ par $1$ .

$\cot (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 3.2.2.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.2.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.2.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.2.2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.2.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.2.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.2.2.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.3

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $arccot (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.5

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{2 π}{3} - π$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.6.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3} - π + 2 π$

Étape 3.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{3}$ est positif et coterminal avec $\frac{2 π}{3} - π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot (x) - 1) (\sqrt{3} \cot (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

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Étape 5.1

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + π n$ et $\frac{5 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$