Trigonométrie Exemples

$(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$

Étape 1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 2

Définissez $\cot (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Définissez $\cot (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $\cot (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = - 1$

Étape 2.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (- 1)$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 2.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 2.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Consolidez les réponses.

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Étape 5.1

Consolidez $\frac{3 π}{4} + π n$ et $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ vrai.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$