Trigonométrie Exemples

$\frac{200 \sin (105)}{\sin (22)} = x$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x = \frac{200 \sin (105)}{\sin (22)}$ .

$x = \frac{200 \sin (105)}{\sin (22)}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{200 \sin (105)}{\sin (22)}$ .

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Étape 2.1

Séparez les fractions.

$x = \frac{200}{1} \cdot \frac{\sin (105)}{\sin (22)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{\sin (105)}{\sin (22)}$ comme un produit.

$x = \frac{200}{1} (\sin (105) \frac{1}{\sin (22)})$

Étape 2.3

Écrivez $\sin (105)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x = \frac{200}{1} (\frac{\sin (105)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (22)})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Divisez $\sin (105)$ par $1$ .

$x = \frac{200}{1} (\sin (105) \frac{1}{\sin (22)})$

Étape 2.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (22)}$ à $\csc (22)$ .

$x = \frac{200}{1} (\sin (105) \csc (22))$

Étape 2.5

Divisez $200$ par $1$ .

$x = 200 (\sin (105) \csc (22))$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$x = 200 (\sin (75) \csc (22))$

Étape 2.6.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$x = 200 (\sin (30 + 45) \csc (22))$

Étape 2.6.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$x = 200 ((\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \csc (22))$

Étape 2.6.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$x = 200 ((\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \csc (22))$

Étape 2.6.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 200 ((\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \csc (22))$

Étape 2.6.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 200 ((\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \csc (22))$

Étape 2.6.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 200 ((\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \csc (22))$

Étape 2.6.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.6.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 200 ((\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \csc (22))$

Étape 2.6.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 200 ((\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \csc (22))$

Étape 2.6.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.6.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 200 ((\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \csc (22))$

Étape 2.6.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = 200 ((\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \csc (22))$

Étape 2.6.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = 200 ((\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \csc (22))$

Étape 2.6.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 200 ((\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \csc (22))$

Étape 2.6.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 200 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \csc (22))$

Étape 2.7

Évaluez $\csc (22)$ .

$x = 200 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 2.66946716)$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 2.66946716$ .

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Étape 2.8.1

Associez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $2.66946716$ .

$x = 200 \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 2.66946716}{4}$

Étape 2.8.2

Multipliez $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ par $2.66946716$ .

$x = 200 (\frac{10.31402909}{4})$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $4$ à partir de $200$ .

$x = 4 (50) \frac{10.31402909}{4}$

Étape 2.9.2

Annulez le facteur commun.

$x = 4 \cdot 50 \frac{10.31402909}{4}$

Étape 2.9.3

Réécrivez l’expression.

$x = 50 \cdot 10.31402909$

Étape 2.10

Multipliez $50$ par $10.31402909$ .

$x = 515.70145494$