Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Étape 1

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

Étape 2

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ par $3$ .

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$u^{3} - 3 u = 0$

Étape 4

Factorisez $u$ à partir de $u^{3} - 3 u$ .

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Étape 4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

Étape 4.2

Factorisez $u$ à partir de $- 3 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$u (u^{2} - 3) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Étape 6

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 7

Définissez $u^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $u^{2} - 3$ égal à $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $u^{2} - 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} = 3$

Étape 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Étape 7.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{3}$

Étape 7.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{3}$

Étape 7.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u^{2} - 3) = 0$ vraie.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = 0$ .

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Étape 11.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 11.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 11.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 12.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 12.3

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 12.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 12.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 13.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 13.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 13.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 13.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 13.4.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 13.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 13.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + π$

Étape 13.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 13.6.3

Associez les fractions.

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Étape 13.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 13.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 13.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.6.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 13.6.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 13.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 13.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$