Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\cos (x), 3$

Étape 1.2

Since $\cos (x), 3$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 3$ then find LCM for the variable part $\cos^{1} (x)$ .

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.5

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 1.6

Le plus petit multiple commun de $1, 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 1.7

Le facteur pour $\cos^{1} (x)$ est $\cos (x)$ lui-même.

$\cos^{1} (x) = \cos (x)$

$\cos (x)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $\cos^{1} (x)$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$\cos (x)$

Étape 1.9

Le plus petit multiple commun pour $\cos (x), 3$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 \cos (x)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$ par $3 \cos (x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{\cos (x)} = \frac{8}{3}$ par $3 \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (3 \cos (x)) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{\cos (x)} \cos (x) = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (x)$ .

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 = \frac{8}{3} (3 \cos (x))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 = 8 \cos (x)$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $8 \cos (x) = 3$ .

$8 \cos (x) = 3$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $8 \cos (x) = 3$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 \cos (x) = 3$ par $8$ .

$\frac{8 \cos (x)}{8} = \frac{3}{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cos (x)}{8} = \frac{3}{8}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{8}$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{3}{8})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Évaluez $\arccos (\frac{3}{8})$ .

$x = 1.18639955$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.18639955$

Étape 7

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.18639955$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.18639955$

Étape 7.2

Soustrayez $1.18639955$ de $6.2831853$ .

$x = 5.09678575$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.18639955 + 2 π n, 5.09678575 + 2 π n$ , pour tout entier $n$