Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{2} = \cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x)) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{4}{3} \cdot (π x) = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot (π x)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{4}{3} (π x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3} x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.1.2

Associez $\frac{π \cdot 4}{3}$ et $x$ .

$\frac{π \cdot 4 x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 5

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$4 π x = π$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $4 π x = π$ par $4 π$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $4 π x = π$ par $4 π$ .

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π x}{4 π} = \frac{π}{4 π}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{4 π}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{4 π}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{4 π}$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4 π$ .

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Étape 8.2.1.1.2.1

Factorisez $4 π$ à partir de $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Étape 8.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{4 π} (2 π \cdot 3 - π)$

Étape 8.2.2.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{1}{4 π} (6 π - π)$

Étape 8.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{1}{4 π} (5 π)$

Étape 8.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 8.2.2.1.7.1

Factorisez $π$ à partir de $4 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (5 π)$

Étape 8.2.2.1.7.2

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Étape 8.2.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{π \cdot 4} (π \cdot 5)$

Étape 8.2.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 8.2.2.1.8

Associez $\frac{1}{4}$ et $5$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 9

Déterminez la période de $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $\frac{4}{3} \cdot π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} \cdot π |}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{2 π}{| \frac{4 π}{3} |}$

Étape 9.3.2

$\frac{4 π}{3}$ est d’environ $4.1887902$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{4 π}{3}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{4 π}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2 π$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $2 π$ à partir de $4 π$ .

$2 π \frac{3}{2 π (2)}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2 π \cdot 2}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2}$

Étape 10

La période de la fonction $\cos (\frac{4}{3} \cdot (π x))$ est $\frac{3}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{3}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{1}{4} + \frac{3 n}{2}, \frac{5}{4} + \frac{3 n}{2}$ , pour tout entier $n$