Trigonométrie Exemples

$12^{2 x + 5} = 55 (7^{3 x})$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (12^{2 x + 5}) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Étape 2

Développez $\ln (12^{2 x + 5})$ en déplaçant $2 x + 5$ hors du logarithme.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (55 \cdot 7^{3 x})$ comme $\ln (55) + \ln (7^{3 x})$ .

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + \ln (7^{3 x})$

Étape 4

Développez $\ln (7^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $(2 x + 5) \ln (12)$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \ln (12) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (12)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x \ln (12^{2}) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Étape 5.1.1.3

Simplifiez $5 \ln (12)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$x \ln (12^{2}) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.4.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x \ln (144) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Étape 5.1.1.4.2

Élevez $12$ à la puissance $5$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 \ln (7)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (7^{3})$

Étape 5.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (343)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (144) + \ln (248832) - \ln (55) - x \ln (343) = 0$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (144) + \ln (\frac{248832}{55}) - x \ln (343) = 0$

Étape 5.5

Soustrayez $\ln (\frac{248832}{55})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (144) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Étape 5.6

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (144) - x \ln (343)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (144)$ .

$x (\ln (144)) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Étape 5.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (343)$ .

$x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Étape 5.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343))$ .

$x (\ln (144) - 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Étape 5.7

Réécrivez $- 1 \ln (343)$ comme $- \ln (343)$ .

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ par $\ln (144) - \ln (343)$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ par $\ln (144) - \ln (343)$ .

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (144) - \ln (343)$ .

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Étape 5.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Étape 5.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

Forme décimale :

$x = 9.69816080 \dots$