Trigonométrie Exemples

${(10 \sqrt{3})}^{2} = {(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 (15 \sqrt{3}) (6 \sqrt{3}) \cos (c)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$ .

${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c))$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $15 \sqrt{3}$ .

$15^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$225 {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$225 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$225 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$225 \cdot 3^{1} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$225 \cdot 3 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.4

Multipliez $225$ par $3$ .

$675 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.5

Appliquez la règle de produit à $6 \sqrt{3}$ .

$675 + 6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.6

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$675 + 36 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$675 + 36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$675 + 36 \cdot 3^{1} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$675 + 36 \cdot 3 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.8

Multipliez $36$ par $3$ .

$675 + 108 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.9

Multipliez $15$ par $- 2$ .

$675 + 108 - 30 \sqrt{3} \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.10

Multipliez $- 30 \sqrt{3} (6 \sqrt{3} \cos (c))$ .

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Étape 2.1.10.1

Multipliez $6$ par $- 30$ .

$675 + 108 - 180 \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.10.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.10.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$675 + 108 - 180 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.11.5

Évaluez l’exposant.

$675 + 108 - 180 \cdot 3 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.1.12

Multipliez $- 180$ par $3$ .

$675 + 108 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2.2

Additionnez $675$ et $108$ .

$783 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez ${(10 \sqrt{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 10^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 3.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{1}$

Étape 3.2.5

Évaluez l’exposant.

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3$

Étape 3.3

Multipliez $100$ par $3$ .

$783 - 540 \cos (c) = 300$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (c)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $783$ des deux côtés de l’équation.

$- 540 \cos (c) = 300 - 783$

Étape 4.2

Soustrayez $783$ de $300$ .

$- 540 \cos (c) = - 483$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 540 \cos (c) = - 483$ par $- 540$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 540 \cos (c) = - 483$ par $- 540$ .

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 540$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos (c)$ par $1$ .

$\cos (c) = \frac{- 483}{- 540}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 483$ et $- 540$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 483$ .

$\cos (c) = \frac{- 3 (161)}{- 540}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 540$ .

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (c) = \frac{161}{180}$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $c$ de l’intérieur du cosinus.

$c = \arccos (\frac{161}{180})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Évaluez $\arccos (\frac{161}{180})$ .

$c = 0.46360902$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$c = 2 (3.14159265) - 0.46360902$

Étape 9

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.46360902$ .

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$c = 6.2831853 - 0.46360902$

Étape 9.2

Soustrayez $0.46360902$ de $6.2831853$ .

$c = 5.81957627$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (c)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (c)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$c = 0.46360902 + 2 π n, 5.81957627 + 2 π n$ , pour tout entier $n$