Trigonométrie Exemples

$\cos (22.5) = (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}} = \cos (22.5)$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}}) = 2 \cos (22.5)$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A + \sqrt{B}})$ .

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Étape 3.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ .

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{A + \sqrt{B}}}{2} = 2 \cos (22.5)$

Étape 3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (22.5)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $2 \cos (22.5)$ .

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Étape 3.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (22.5)$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \cos (\frac{45}{2})$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Étape 3.2.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Étape 3.2.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.2.1.1.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 3.2.1.1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.2.1.1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.2.1.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.1.1.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.1.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 3.2.1.1.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.2.1.1.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1.1.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.2.1.1.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{A + \sqrt{B}}}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ comme ${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(A + \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(A + \sqrt{B})}^{1} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez

$A + \sqrt{B} = {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ comme ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$A + \sqrt{B} = {({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$A + \sqrt{B} = {(2 + \sqrt{2})}^{1}$

Étape 5.3.1.5

Simplifiez

$A + \sqrt{B} = 2 + \sqrt{2}$

Étape 6

Soustrayez $A$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{B} = 2 + \sqrt{2} - A$

Étape 7

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{B}}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Étape 8

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{B}$ comme $B^{\frac{1}{2}}$ .

${(B^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Simplifiez ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(B^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Étape 8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$B^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Étape 8.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$B^{1} = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Simplifiez

$B = {(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ .

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez ${(2 + \sqrt{2} - A)}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ .

$B = (2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$

Étape 8.3.1.2

Développez $(2 + \sqrt{2} - A) (2 + \sqrt{2} - A)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$B = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} + 2 (- A) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - A \cdot 2 - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - A (- A)$

Étape 8.3.1.3.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A \cdot A$

Étape 8.3.1.3.1.10

Multipliez $A$ par $A$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.1.3.1.10.1

Déplacez $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (A \cdot A)$

Étape 8.3.1.3.1.10.2

Multipliez $A$ par $A$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 A^{2}$

Étape 8.3.1.3.1.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + 1 A^{2}$

Étape 8.3.1.3.1.12

Multipliez $A^{2}$ par $1$ .

$B = 4 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Étape 8.3.1.3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.3.1.3.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$B = 6 + 2 \sqrt{2} - 2 A + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Étape 8.3.1.3.2.2

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 2 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - 2 A - A \sqrt{2} + A^{2}$

Étape 8.3.1.3.2.3

Soustrayez $2 A$ de $- 2 A$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- A) - A \sqrt{2} + A^{2}$

Étape 8.3.1.3.2.4

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{2} (- A)$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - A \sqrt{2} - A \sqrt{2} + A^{2}$

Étape 8.3.1.3.2.5

Soustrayez $A \sqrt{2}$ de $- A \sqrt{2}$ .

$B = 6 - 4 A + 4 \sqrt{2} - 2 A \sqrt{2} + A^{2}$