Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$ .

$x = 0.97453507$

Étape 8.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.97453507$

Étape 8.4

Résolvez $x$ .

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Étape 8.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.97453507$

Étape 8.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.97453507$ .

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Étape 8.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.97453507$

Étape 8.4.2.2

Soustrayez $0.97453507$ de $6.2831853$ .

$x = 5.30865023$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.97453507 + 2 π n, 5.30865023 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ .

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Étape 9.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.97453507 + 2 π n, 5.30865023 + 2 π n$ , pour tout entier $n$