Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\cos^{2} (2 x)$ par $1 - \sin^{2} (2 x)$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Déplacez $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) - 1 + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (2 x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.2.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\sin (2 x)$ à partir de $- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $\sin (2 x)$ à partir de $- \sin^{2} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.2.2

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $\sin (2 x)$ à partir de $\sin^{1} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $\sin (2 x)$ à partir de $\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $\sin (2 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $\sin (2 x)$ égal à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $\sin (2 x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 2.4.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 2.4.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 2.4.2.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 2.4.2.5.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 2.4.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.4.2.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.4.2.7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Définissez $- \sin (2 x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $- \sin (2 x) + 1$ égal à $0$ .

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- \sin (2 x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (2 x) = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (2 x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (2 x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (2 x) = 1$

Étape 2.5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (1)$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.6

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.5.2.7.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 2.5.2.7.1.4.2

Soustrayez $π$ de $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.5.2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.7.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.7.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.5.2.8

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.5.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.5.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.5.2.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.5.2.9

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$ vraie.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Consolidez $π n$ et $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$