Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Étape 1

Remplacez le $\csc^{2} (x)$ par $\cot^{2} (x) + 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) + 1) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

Étape 2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\cot^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 4 = 0$

Étape 3

Remplacez $\cot (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 0.5 (u) - 4 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 0.5$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 0.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $0.25$ et $16$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 1.76556443, - 2.26556443$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\cot (x)$ .

$\cot (x) = 1.76556443, - 2.26556443$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = 1.76556443$

$\cot (x) = - 2.26556443$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = 1.76556443$ .

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Étape 10.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1.76556443)$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $arccot (1.76556443)$ .

$x = 0.5153404$

Étape 10.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Étape 10.4

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.5153404$

Étape 10.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

Étape 10.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.5153404$ .

$x = 3.65693305$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - 2.26556443$ .

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Étape 11.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 2.26556443)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $arccot (- 2.26556443)$ .

$x = 2.7259209$

Étape 11.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.7259209 - (3.14159265)$

Étape 11.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.4.1

Ajoutez $2 π$ à $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 2.7259209 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 11.4.2

L’angle résultant de $5.86751355$ est positif et coterminal avec $2.7259209 - (3.14159265)$ .

$x = 5.86751355$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les solutions.

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Étape 13.1

Consolidez $0.5153404 + π n$ et $3.65693305 + π n$ en $0.5153404 + π n$ .

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13.2

Consolidez $2.7259209 + π n$ et $5.86751355 + π n$ en $2.7259209 + π n$ .

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n$ , pour tout entier $n$