Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc (x)}{\cot (x)} = \sqrt{2}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\csc (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} = \sqrt{2}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} = \sqrt{2}$

Étape 1.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sqrt{2}$

Étape 1.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Étape 2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La valeur exacte de $arcsec (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$