Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Étape 1

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Étape 2

Développez $(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Étape 3.2

Réécrivez $- 1 \csc^{2} (x)$ comme $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Étape 3.3

Réécrivez $- 1 \sec^{2} (x)$ comme $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $\csc^{2} (x)$ à partir de $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $\csc^{2} (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $\csc^{2} (x)$ à partir de $\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Étape 4.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

Étape 4.1.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1 = 1$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

Étape 4.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\csc^{2} (x) \tan^{2} (x)$ comme ${(\csc (x) \tan (x))}^{2}$ .

${(\csc (x) \tan (x))}^{2} - \tan^{2} (x) = 1$

Étape 4.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \csc (x) \tan (x)$ et $b = \tan (x)$ .

$(\csc (x) \tan (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.7.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\csc (x)$ et $\tan (x)$ .

$(\tan (x) \csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.1.1.2

Réécrivez $\csc (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.7.2.1.1

Remettez dans l’ordre $\csc (x)$ et $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\tan (x) \csc (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.2.1.2

Réécrivez $\csc (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.7.2.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.8

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.9.1

Associez les termes opposés dans $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 4.1.9.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sec (x) (- \tan (x))$ et $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.1.2

Additionnez $- \sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.1.3

Additionnez $\sec (x) \sec (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.9.2.1

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 4.1.9.2.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Étape 4.1.9.2.3

Multipliez $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 4.1.9.2.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Étape 4.1.9.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Étape 4.1.9.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Étape 4.1.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = 1$

Étape 5

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$