Trigonométrie Exemples

{cos}^{3} (x) - cos (x) = 0

$\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0$

Étape 1

Factorisez

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez

$\cos (x)$ à partir de

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez

$\cos (x)$ à partir de

$\cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez

$\cos (x)$ à partir de

$- \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez

$\cos (x)$ à partir de

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Étape 1.3

Factorisez.

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Étape 1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = \cos (x)$ et

$b = 1$ .

$\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez

$\cos (x)$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 3.1

Définissez

$\cos (x)$ égal à

$0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez

$\cos (x) = 0$ pour

$x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de

$\arccos (0)$ est

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez

$2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.2.1

Associez

$2 π$ et

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.3.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.4.3.2

Soustrayez

$π$ de

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de

$\cos (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction

$\cos (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4

Définissez

$\cos (x) + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 4.1

Définissez

$\cos (x) + 1$ égal à

$0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

$\cos (x) + 1 = 0$ pour

$x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de

$\arccos (- 1)$ est

$π$ .

$x = π$

Étape 4.2.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 4.2.5

Soustrayez

$π$ de

$2 π$ .

$x = π$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de

$\cos (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction

$\cos (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 5

Définissez

$\cos (x) - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 5.1

Définissez

$\cos (x) - 1$ égal à

$0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez

$\cos (x) - 1 = 0$ pour

$x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 5.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de

$\arccos (1)$ est

$0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 5.2.5

Soustrayez

$0$ de

$2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de

$\cos (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction

$\cos (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$