Trigonométrie Exemples

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Étape 1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Étape 2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 30$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez $- 30$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.3

Soustrayez $4$ de $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $896$ comme $8^{2} \cdot 14$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Étape 3.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $15 + 4 \sqrt{14}$ dans $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Étape 5

Résolvez $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Étape 5.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Étape 5.3

Développez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Étape 5.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Étape 5.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Étape 6

Remplacez $u$ par $15 - 4 \sqrt{14}$ dans $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Étape 7

Résolvez $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Étape 7.3

Développez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Étape 7.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Étape 7.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Forme décimale :

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$