Trigonométrie Exemples

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $3^{2 x}$ comme ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = 3^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $3^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 4 u + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{x}$ .

$(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $3^{x} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3^{x} - 3$ égal à $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3^{x} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{x} = 3$

Étape 3.2.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{1}$

Étape 3.2.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 4

Définissez $3^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3^{x} - 1$ égal à $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3^{x} = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Étape 4.2.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 4.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$x = 0$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$ vraie.

$x = 1, 0$