Trigonométrie Exemples

$\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x - 2}}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 2}$ comme ${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x - 2)}^{1} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$2 x - 2 = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ .

$2 x - 2 = (1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 2 = 1 (1 + \sqrt{4 - x}) + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{4 - x}$ par $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{4 - x}$ par $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{4 - x}$ à la puissance $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{4 - x}$ à la puissance $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ comme $4 - x$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 4 - x$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$2 x - 2 = 5 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} - x$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{4 - x}$ et $\sqrt{4 - x}$ .

$2 x - 2 = 5 + 2 \sqrt{4 - x} - x$

Étape 3

Résolvez $2 \sqrt{4 - x}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$ .

$5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{4 - x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2 - 5$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{4 - x} = 2 x - 2 - 5 + x$

Étape 3.2.3

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 2 - 5$

Étape 3.2.4

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 7$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(4 - x)}^{1} = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$4 (4 - x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez.

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Étape 5.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$16 - 4 x = {(3 x - 7)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(3 x - 7)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(3 x - 7)}^{2}$ comme $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$16 - 4 x = (3 x - 7) (3 x - 7)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(3 x - 7) (3 x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 - 4 x = 3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $21 x$ de $- 21 x$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 42 x + 49$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 16 - 4 x$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 42 x + 49 + 4 x = 16$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 42 x$ et $4 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 49 = 16$

Étape 6.3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 38 x + 49 - 16 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $16$ de $49$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Étape 6.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 33 = 297$ et dont la somme est $b = - 38$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $- 38$ à partir de $- 38 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Étape 6.5.1.2

Réécrivez $- 38$ comme $- 11$ plus $- 27$

$9 x^{2} + (- 11 - 27) x + 33 = 0$

Étape 6.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} - 11 x - 27 x + 33 = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 x^{2} - 11 x) - 27 x + 33 = 0$

Étape 6.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (9 x - 11) - 3 (9 x - 11) = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 11$ .

$(9 x - 11) (x - 3) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x - 11 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 6.7

Définissez $9 x - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $9 x - 11$ égal à $0$ .

$9 x - 11 = 0$

Étape 6.7.2

Résolvez $9 x - 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.7.2.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 11$

Étape 6.7.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 11$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 6.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 11$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Étape 6.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Étape 6.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{11}{9}$

Étape 6.8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 x - 11) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{11}{9}, 3$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$ vrai.

$x = 3$