Trigonométrie Exemples

$\sqrt{4 \sin (x) + 7} = 3$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 \sin (x) + 7}}^{2} = 3^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 \sin (x) + 7}$ comme ${(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 \sin (x) + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 \sin (x) + 7)}^{1} = 3^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$4 \sin (x) + 7 = 3^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 \sin (x) + 7 = 9$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin (x) = 9 - 7$

Étape 3.1.2

Soustrayez $7$ de $9$ .

$4 \sin (x) = 2$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = 2$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = 2$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{2}{4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{2}{4}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 (1)}{4}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 3.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 3.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$