Trigonométrie Exemples

$\sqrt{2} \sin (x) \sec (x) = 2 \sin (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez $\sqrt{2} \sin (x) \sec (x)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sqrt{2} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Étape 1.1.2

Multipliez $\sqrt{2} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.1.2.1

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} \sin (x) = 2 \sin (x)$

Étape 1.1.2.2

Associez $\frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} \sin (x) = \cos (x) (2 \sin (x))$

Étape 4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{2} \sin (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sqrt{2} \sin (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\sqrt{2} \sin (x) = 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sqrt{2} \sin (x) = \sin (2 x)$

Étape 8

Soustrayez $\sin (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2} \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sqrt{2} \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt{2} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 10

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sqrt{2} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\sin (x) \sqrt{2} - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 10.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \sqrt{2} + \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Étape 10.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \sqrt{2} + \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} - 2 \cos (x)) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$

Étape 12

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 12.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 12.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 12.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 12.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 12.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 12.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Définissez $\sqrt{2} - 2 \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $\sqrt{2} - 2 \cos (x)$ égal à $0$ .

$\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$

Étape 13.2

Résolvez $\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 13.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 13.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 13.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 13.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 13.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 13.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 13.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 13.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.6.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 13.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 13.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (\sqrt{2} - 2 \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$