Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) \cot (x) = 3$

Étape 1

Remplacez le $\tan^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) \cot (x) = 3$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x) \cot (x) - 1 \cot (x) = 3$

Étape 3

Réécrivez $- 1 \cot (x)$ comme $- \cot (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x) = 3$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x) - \cot (x) = 3$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $- \cot (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 1 = 3$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cot (x) \sec^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 1$ .

$\cot (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 3$

Étape 4.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cot (x) \tan^{2} (x) = 3$

Étape 4.1.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \tan^{2} (x) = 3$

Étape 4.1.4

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 3$

Étape 4.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 3$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = 3$

Étape 4.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = 3$

Étape 4.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 3$

Étape 4.1.7

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 3$

Étape 4.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 3$

Étape 4.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 3$

Étape 4.1.8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 3$

Étape 5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (3)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

Évaluez $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Étape 7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Étape 8.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Étape 9

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez $1.24904577 + π n$ et $4.39063842 + π n$ en $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n$ , pour tout entier $n$