Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) - \tan (x) - 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\tan (x)$ par $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (x) - 2$ égal à $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = 2$

Étape 3.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Étape 3.2.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Étape 3.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Étape 3.2.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Étape 3.2.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x) + 1$ égal à $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 4.2.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 4.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.7.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 4.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 4.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $1.10714871 + π n$ et $4.24874137 + π n$ en $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.10714871 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$