Trigonométrie Exemples

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = \sin^{2} (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin^{2} (x)$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) = 1$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = 1$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - 1$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = 1, - 1$

Étape 3.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 1$ .

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Étape 3.2.6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.2.6.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.6.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 3.2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 3.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 3.2.7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.7.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 3.2.7.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 3.2.7.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.6.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.7.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.7.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.7.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.7.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.7.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin^{2} (x) + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin^{2} (x) + 3$ égal à $0$ .

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) = - 3$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 4.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Étape 4.2.6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

Étape 4.2.6.2

Le sinus inverse de $\arcsin (i \sqrt{3})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

Étape 4.2.7.2

Le sinus inverse de $\arcsin (- i \sqrt{3})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.8

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$