Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (5 x) = 3$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (5 x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (5 x) = \sqrt{3}$

Étape 2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (5 x) = - \sqrt{3}$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (5 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (5 x) = \sqrt{3}$

$\tan (5 x) = - \sqrt{3}$

Étape 4

Résolvez $x$ dans $\tan (5 x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 4.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$5 x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

Étape 4.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

Étape 4.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$5 x = π + \frac{π}{3}$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez

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Étape 4.5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 4.5.1.2

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 4.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 4.5.1.4

Additionnez $π \cdot 3$ et $π$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

$5 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 4.5.1.4.2

Additionnez $3 \cdot π$ et $π$ .

$5 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{5}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{5}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{5}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 4.5.2.3.2

Multipliez $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 5}$

Étape 4.5.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{4 π}{15}$

Étape 4.6

Déterminez la période de $\tan (5 x)$ .

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Étape 4.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.6.2

Remplacez $b$ par $5$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 5 |}$

Étape 4.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{π}{5}$

Étape 4.7

La période de la fonction $\tan (5 x)$ est $\frac{π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{4 π}{15} + \frac{π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\tan (5 x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 5.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$5 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$5 x = - \frac{π}{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $5 x = - \frac{π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - \frac{π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 3}$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = - \frac{π}{15}$

Étape 5.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$5 x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$5 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 5.5.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$5 x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.5.3

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{2 π}{3}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{2 π}{3}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{2 π}{3}}{5}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{2 π}{3}}{5}$

Étape 5.5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{5}$

Étape 5.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 5.5.3.3.2

Multipliez $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 5.5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{2 π}{3 \cdot 5}$

Étape 5.5.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x = \frac{2 π}{15}$

Étape 5.6

Déterminez la période de $\tan (5 x)$ .

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Étape 5.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.6.2

Remplacez $b$ par $5$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 5 |}$

Étape 5.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{π}{5}$

Étape 5.7

Ajoutez $\frac{π}{5}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.7.1

Ajoutez $\frac{π}{5}$ à $- \frac{π}{15}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{15} + \frac{π}{5}$

Étape 5.7.2

Pour écrire $\frac{π}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{15}$

Étape 5.7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.7.3.1

Multipliez $\frac{π}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{π}{15}$

Étape 5.7.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{15} - \frac{π}{15}$

Étape 5.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{15}$

Étape 5.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{15}$

Étape 5.7.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{15}$

Étape 5.7.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{2 π}{15}$

Étape 5.8

La période de la fonction $\tan (5 x)$ est $\frac{π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{4 π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les solutions.

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Étape 7.1

Consolidez $\frac{π}{15} + \frac{π n}{5}$ et $\frac{4 π}{15} + \frac{π n}{5}$ en $\frac{π}{15} + \frac{π n}{5}$ .

$x = \frac{π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2

Consolidez $\frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ et $\frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ en $\frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ .

$x = \frac{π}{15} + \frac{π n}{5}, \frac{2 π}{15} + \frac{π n}{5}$ , pour tout entier $n$