Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) - 2 \sec (x) + 1 = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Déplacez $1$ .

$\tan^{2} (x) + 1 - 2 \sec (x) = 0$

Étape 1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) - 2 \sec (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) - 2 \sec (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - 2 \sec (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- 2 \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 2$ .

$\sec (x) (\sec (x) - 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\sec (x) - 2 = 0$

Étape 4

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 4.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

Définissez $\sec (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sec (x) - 2$ égal à $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sec (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sec (x) = 2$

Étape 5.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (2)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.2.4

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 5.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sec (x) (\sec (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$