Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) = 4 - 2 \tan (x)$

Étape 1

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} = 4 - 2 u$

Étape 2

Ajoutez $2 u$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 2 u = 4$

Étape 3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 2 u - 4 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 1 + \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}, - 1 - \sqrt{5}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{5}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1 + \sqrt{5}$ .

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Étape 10.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = 1.23606797$

Étape 10.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1.23606797)$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Évaluez $\arctan (1.23606797)$ .

$x = 0.89058134$

Étape 10.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.89058134$

Étape 10.5

Résolvez $x$ .

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Étape 10.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.89058134$

Étape 10.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.89058134$

Étape 10.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.89058134$ .

$x = 4.032174$

Étape 10.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 10.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.89058134 + π n, 4.032174 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1 - \sqrt{5}$ .

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Étape 11.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = - 3.23606797$

Étape 11.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 3.23606797)$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Évaluez $\arctan (- 3.23606797)$ .

$x = - 1.27108772$

Étape 11.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.27108772 - (3.14159265)$

Étape 11.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.27108772 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.27108772 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 11.5.2

L’angle résultant de $1.87050492$ est positif et coterminal avec $- 1.27108772 - (3.14159265)$ .

$x = 1.87050492$

Étape 11.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.7.1

Ajoutez $π$ à $- 1.27108772$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.27108772 + π$

Étape 11.7.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.27108772$

Étape 11.7.3

Soustrayez $1.27108772$ de $3.14159265$ .

$1.87050492$

Étape 11.7.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 1.87050492$

Étape 11.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.89058134 + π n, 4.032174 + π n, 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les solutions.

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Étape 13.1

Consolidez $0.89058134 + π n$ et $4.032174 + π n$ en $0.89058134 + π n$ .

$x = 0.89058134 + π n, 1.87050492 + π n, 1.87050492 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13.2

Consolidez $1.87050492 + π n$ et $1.87050492 + π n$ en $1.87050492 + π n$ .

$x = 0.89058134 + π n, 1.87050492 + π n$ , pour tout entier $n$