Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) + 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 2 = 0$

Étape 2.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$- \cos^{2} (x) + (- 1 + 2) \cos (x) + 2 = 0$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cos (x) (- \cos (x) - 1) - 2 (- \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- \cos (x) - 1$ .

$(- \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Étape 2.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 2.4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 2.4.2.6

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 2.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Définissez $\cos (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\cos (x) - 2$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\cos (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 2$

Étape 2.5.2.2

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$