Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 6$

Étape 1

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 6$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 6$

Étape 3

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 6$

Étape 4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 2 u + 1 - 6 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$u^{2} + 2 u - 5 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Additionnez $4$ et $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{6}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$ .

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Étape 11.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = 1.44948974$

Étape 11.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1.44948974)$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Évaluez $\arctan (1.44948974)$ .

$x = 0.96688248$

Étape 11.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

Étape 11.5

Résolvez $x$ .

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Étape 11.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.96688248$

Étape 11.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

Étape 11.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.96688248$ .

$x = 4.10847514$

Étape 11.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$ .

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Étape 12.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = - 3.44948974$

Étape 12.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 3.44948974)$

Étape 12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Évaluez $\arctan (- 3.44948974)$ .

$x = - 1.28863304$

Étape 12.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.28863304 - (3.14159265)$

Étape 12.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 12.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.28863304 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.28863304 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 12.5.2

L’angle résultant de $1.85295961$ est positif et coterminal avec $- 1.28863304 - (3.14159265)$ .

$x = 1.85295961$

Étape 12.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 12.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 12.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 12.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 12.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 12.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 12.7.1

Ajoutez $π$ à $- 1.28863304$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.28863304 + π$

Étape 12.7.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.28863304$

Étape 12.7.3

Soustrayez $1.28863304$ de $3.14159265$ .

$1.85295961$

Étape 12.7.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 1.85295961$

Étape 12.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les solutions.

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Étape 14.1

Consolidez $0.96688248 + π n$ et $4.10847514 + π n$ en $0.96688248 + π n$ .

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14.2

Consolidez $1.85295961 + π n$ et $1.85295961 + π n$ en $1.85295961 + π n$ .

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n$ , pour tout entier $n$