Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Étape 1.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \sec (x) - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Étape 1.1.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sqrt{3} \frac{1}{\cos (x)} - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Étape 1.1.5

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{2} \sec (x) - \sqrt{6} = 0$

Étape 1.1.6

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \sqrt{2} \frac{1}{\cos (x)} - \sqrt{6} = 0$

Étape 1.1.7

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} - \sqrt{6} = 0$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} - \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} - \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sqrt{3}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}) + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = 0$

Étape 7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cos (x) (- \sqrt{6}) = 0$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$

Étape 8

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\cos (x), 1, 1, 1, 1$

Étape 8.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\cos (x)$

Étape 9

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$ par $\cos (x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 9.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{\cos (x)} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \cos (x) \sqrt{6} = 0$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Étape 9.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos (x) \sqrt{6} \cos (x) = 0 \cos (x)$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1.2.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - (\cos (x) \cos (x)) \sqrt{6} = 0 \cos (x)$

Étape 9.2.1.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos^{2} (x) \sqrt{6} = 0 \cos (x)$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Multipliez $0$ par $\cos (x)$ .

$1 + \sqrt{3} \cos (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \cos^{2} (x) \sqrt{6} = 0$

Étape 10

Résolvez l’équation.

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Étape 10.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.2

Remplacez les valeurs $a = - \sqrt{6}$ , $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $\cos (x)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{6} \cdot 1)}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 10.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.3

Réécrivez ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.4

Développez $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.5.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + \sqrt{3} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 10.3.1.5.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{2} \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.6

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Étape 10.3.1.5.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.7

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 10.3.1.5.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.7.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.7.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.3.1.5.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1.5.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 - \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - \sqrt{6} - \sqrt{6} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.5.3

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $- \sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} - 4 \cdot (- 1 \sqrt{6}) \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} \cdot 1}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.1.8

Additionnez $- 2 \sqrt{6}$ et $4 \sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 (- \sqrt{6})}$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{- 2 \sqrt{6}}$

Étape 10.3.3

Simplifiez $\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{- 2 \sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$

Étape 10.3.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 10.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 10.3.5.2

Déplacez $\sqrt{6}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 10.3.5.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 10.3.5.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 10.3.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 10.3.5.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.3.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 10.3.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 10.3.6

Multipliez $2$ par $6$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} \pm \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Étape 10.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}, \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

$\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 12.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12}$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}) \sqrt{6}}{12})$ .

$x = 2.18627603$

Étape 13.3

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Étape 13.4

Résolvez $x$ .

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Étape 13.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Étape 13.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

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Étape 13.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

Étape 13.4.2.2

Soustrayez $2.18627603$ de $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , pour tout entier $n$