Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

Étape 1

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

Étape 3

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

Étape 4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ .

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Étape 11.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = 0.23606797$

Étape 11.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0.23606797)$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Évaluez $\arctan (0.23606797)$ .

$x = 0.2318238$

Étape 11.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Étape 11.5

Résolvez $x$ .

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Étape 11.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

Étape 11.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Étape 11.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.2318238$ .

$x = 3.37341645$

Étape 11.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ .

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Étape 12.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = - 4.23606797$

Étape 12.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

Étape 12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Évaluez $\arctan (- 4.23606797)$ .

$x = - 1.33897252$

Étape 12.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

Étape 12.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 12.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 12.5.2

L’angle résultant de $1.80262013$ est positif et coterminal avec $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = 1.80262013$

Étape 12.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 12.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 12.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 12.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 12.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 12.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 12.7.1

Ajoutez $π$ à $- 1.33897252$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.33897252 + π$

Étape 12.7.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.33897252$

Étape 12.7.3

Soustrayez $1.33897252$ de $3.14159265$ .

$1.80262013$

Étape 12.7.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 1.80262013$

Étape 12.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les solutions.

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Étape 14.1

Consolidez $0.2318238 + π n$ et $3.37341645 + π n$ en $0.2318238 + π n$ .

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14.2

Consolidez $0.2318238 + π n$ et $1.80262013 + π n$ en $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14.3

Consolidez $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ et $1.80262013 + π n$ en $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$