Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Étape 1

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

Étape 2

Soustrayez $2 \tan^{2} (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$1 - \tan^{2} (x) = - 2$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \tan^{2} (x) + 1 = - 2$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\tan (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan^{2} (x) = - 2 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- \tan^{2} (x) = - 3$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \tan^{2} (x) = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \tan^{2} (x) = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Étape 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 9.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 9.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 9.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 9.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 9.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 9.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 10.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 10.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 10.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 10.4.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + π$

Étape 10.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 10.6.3

Associez les fractions.

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Étape 10.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 10.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 10.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 10.6.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 10.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 10.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les solutions.

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Étape 12.1

Consolidez $\frac{π}{3} + π n$ et $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + π n$ et $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$