Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(\sin (x) - 1) (\sin (x) + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 1$

Étape 3.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (x) + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x) + 3$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 3$

Étape 4.2.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 3$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin (x) - 1) (\sin (x) + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$