Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 2

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.3

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Étape 3.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 5

Remplacez $u = \cos^{2} (x)$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{4}$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Étape 6.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

Étape 6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

Étape 6.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Étape 6.2.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.2.5

Réécrivez le polynôme.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Étape 6.2.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = \frac{1}{2}$ .

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ par $1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Étape 8

Définissez le $u - \frac{1}{2}$ égal à $0$ .

$u - \frac{1}{2} = 0$

Étape 9

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$u = \frac{1}{2}$

Étape 10

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = \cos^{2} (x)$ dans l’équation résolue.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $\cos (x)$ .

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Étape 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 11.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 11.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 11.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 11.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 11.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 11.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 13.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 13.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 13.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 13.4.2

Associez les fractions.

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Étape 13.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 13.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 13.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 13.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 14.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 14.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 14.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 14.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 14.4.2

Associez les fractions.

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Étape 14.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 14.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 14.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 14.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$