Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 3

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Étape 5.2

Ajoutez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 6.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.3.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Étape 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Étape 8

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

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Étape 8.1

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Étape 8.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Étape 8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Étape 8.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Étape 8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 8.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 11.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Étape 11.4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

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Étape 11.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Étape 11.4.2

Associez les fractions.

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Étape 11.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Étape 11.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Étape 11.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.3.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Étape 11.4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $7 π$ de $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les solutions.

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Étape 14.1

Consolidez $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ et $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14.2

Consolidez $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ et $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ en $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$