Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 3 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos^{2} (x) = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 7

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 7.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.95531661$

Étape 10.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

Étape 10.4

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.95531661$

Étape 10.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.95531661$ .

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Étape 10.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.95531661$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $0.95531661$ de $6.2831853$ .

$x = 5.32786868$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 2.18627603$

Étape 11.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Étape 11.4

Résolvez $x$ .

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Étape 11.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.18627603$

Étape 11.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.18627603$ .

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Étape 11.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.18627603$

Étape 11.4.2.2

Soustrayez $2.18627603$ de $6.2831853$ .

$x = 4.09690927$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.95531661 + 2 π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n, 4.09690927 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les solutions.

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Étape 13.1

Consolidez $0.95531661 + 2 π n$ et $4.09690927 + 2 π n$ en $0.95531661 + π n$ .

$x = 0.95531661 + π n, 5.32786868 + 2 π n, 2.18627603 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13.2

Consolidez $5.32786868 + 2 π n$ et $2.18627603 + 2 π n$ en $2.18627603 + π n$ .

$x = 0.95531661 + π n, 2.18627603 + π n$ , pour tout entier $n$