Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + 8 \sin (x) - 4 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 8 (u) - 4 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $64$ et $16$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$ .

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Étape 8.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\sin (x) = 0.47213595$

Étape 8.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0.47213595)$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Évaluez $\arcsin (0.47213595)$ .

$x = 0.49171223$

Étape 8.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

Étape 8.5

Résolvez $x$ .

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Étape 8.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.49171223$

Étape 8.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

Étape 8.5.3

Soustrayez $0.49171223$ de $3.14159265$ .

$x = 2.64988042$

Étape 8.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 8.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$ .

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Étape 9.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\sin (x) = - 8.47213595$

Étape 9.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 8.47213595$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ , pour tout entier $n$