Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + 7 \sin (x) + 6 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$u^{2} + 7 u + 6 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u^{2} + 7 u + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $7$ .

$1, 6$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 6) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 6) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 6 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 3.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 3.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (x) + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x) + 6$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 6 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 6$

Étape 4.2.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 6$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 6) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$