Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Additionnez $- \cos^{2} (x)$ et $3 \cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 7

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 7.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 7.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 10.2

Le cosinus inverse de $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 11.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution