Trigonométrie Exemples

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez $\log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x (4 - x))$

Étape 1.1.2

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x \cdot 4 + x (- x))$

Étape 1.1.2.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x + x (- x))$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x - x \cdot x)$

Étape 1.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - (x \cdot x))$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - x^{2})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$3 x = 4 x - x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x - x^{2} = 3 x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Étape 3.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Étape 3.3.2

Réécrivez $x$ comme $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $- x$ à partir de $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ vrai.

$x = 1$