Trigonométrie Exemples

$\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x + 5) = 3$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x + 5)) = 3$

Étape 3

Développez $(x + 3) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x (x + 5) + 3 (x + 5)) = 3$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)) = 3$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Étape 4.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 3 x + 15) = 3$

Étape 4.2

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$

Étape 5

Réécrivez $\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} + 8 x + 15$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$ .

$x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$

Étape 6.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x^{2} + 8 x + 15 = 8$

Étape 6.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 8 x + 15 - 8 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $8$ de $15$ .

$x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Étape 6.5

Factorisez $x^{2} + 8 x + 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $7$ et dont la somme est $8$ .

$1, 7$

Étape 6.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 7) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 6.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.8

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 6.8.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 7$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$ vrai.

$x = - 1$