Trigonométrie Exemples

$\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{3} (x - 7) + \log_{3} (x + 1) = 2$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x - 7) (x + 1)) = 2$

Étape 3

Développez $(x - 7) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (x (x + 1) - 7 (x + 1)) = 2$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 (x + 1)) = 2$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7) = 2$

Étape 4.2

Soustrayez $7 x$ de $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$

Étape 5

Réécrivez $\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 6 x - 7$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$

Étape 6.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 9$

Étape 6.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 6 x - 7 - 9 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $9$ de $- 7$ .

$x^{2} - 6 x - 16 = 0$

Étape 6.5

Factorisez $x^{2} - 6 x - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 8, 2$

Étape 6.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 8) (x + 2) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.7

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 6.7.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 6.8

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 8) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 8, - 2$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ vrai.

$x = 8$