Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (2 x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (2 x)$ par $u$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (2 x)$ .

$(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $2 \cos (2 x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \cos (2 x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \cos (2 x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{2 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{2 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 3.2.6

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.7.1

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 3.2.7.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 3.2.7.1.5

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Étape 3.2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{4 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{4 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 3.2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.7.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cos (2 x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (2 x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (2 x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 4.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 4.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - 0$

Étape 4.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.6.1

Simplifiez

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Étape 4.2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Étape 4.2.6.1.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$2 x = 2 π$

Étape 4.2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.6.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.6.2.3.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$